На бегу нареч. От основы бег/ъ. СО — переход «застывшей» предложно-падежной словоформы (на + П. п.) в наречие.
«На бѣгу. Предложной сей падежъ употребляется во образѣ нарѣчiя и значитъ бѣгучи. На всемъ бѣгу наклонясь подхватилъ камень» (САР 1, 415-416).
«Лошадь, оторвав копытом камень из мостовой, кинула его на бегу в боковое мое окошко» [И.М. Долгоруков. Повесть о рождении моем, происхождении и всей моей жизни, писанная мной самим и начатая в Москве, 1788-го года в августе месяце, на 25-ом году моей жизни / Часть 4 / 1791-1798 (1788-1822)].