О/бéг/а/ть — о/бéг/а/ю, -ешь гл. перех. От глагола бéгать. СО — суффиксальный, суфф. о-/об- со значением распределительного способа действия (см. §50.25).
«ОБѢ́ГАТЬ, гл. д. сов. Перебывать въ разныхъ мѣстахъ. Обѣгалъ весь гостиный дворъ» (СЦРЯ 3, 41).
«Когда так, ― сказал с радостию кучер, ― то с таким хорошим товарищем готов я обегать весь Петербург, лишь бы было мне чем во всяком кабаке учредить станцию» [И.А. Крылов. Ночи (1792)].