Брык/а/ть/ся — брык/а/j/у/сь, -ешься гл. неперех. От глагола брыкать. СО — суффиксальный, роль словообразовательного средства выполняет возвратная частица -ся с активно-безобъектным значением, когда частица -ся указывает на действия «или вне отношения к объекту или как характеризующие производителя» (АГ-52, 1, 421).
«Брыка́юсь, ся, ка́ешься, бры́кнулся, ка́ться, бры́кнуться. гл. возвр. Лягаюся, бьюся ногами. Быкъ, корова брыкается» (САР 1, 359).
«Мистръ Престонъ, сказать правду, дрожалъ отъ страху на своемъ конѣ; и радъ былъ какимъ бы то ни было образомъ уйти отъ бѣшеного звѣря, который лягался и брыкался задними и передними ногами» [А.В. Дружинин. Письма иногороднего подписчика о русской журналистике (1849)].