Вз/брык/а/ть/ся — вз/брык/а/j/у/сь, -ешься гл. неперех. От глагола взбрыкать. СО — суффиксальный, роль словообразовательного средства выполняет возвратная частица -ся с усилительным значением.
«Взбрыкáться, стать вздругъ лягаться. Чего она взбрыкалась?» (Даль 1, 469).
В НКРЯ употребление гл. взбрыкаться не зафиксировано.