По/уж/ин/а/ть — по/уж/ин/а/ю, -ешь гл. От глагола ужинать. СО — префиксальный, приставка по- со значением смягчительного (аттенуативного) способа действия (см. §50.22).
«ПОУ́ЖИНАТЬ, сов. гл. ýжинать» (СЦРЯ 3, 407).
«Обедали мы в Милльрозе и так и сяк и спешили хорошенько поужинать в местечке Либерозе; но судьбе то было неугодно» [Д.И. Фонвизин. К родным (1784-1785)].