Дремл/ю, -ешь — дрем/а/ть гл. неперех. От основы дрём/а1. СО — суффиксальный, суфф. -а- со значением отвлеченно-длительного способа действия (см. §50.4); о происхождении чередования м // мл см. §11.
«ДРЕМА́ТЬ, млю, мле́шь; вздрема́ть, гл. ср. 1) Клониться ко сну, или спать самымъ легкимъ сномъ. Дремать за работою. 2) *Быть неосторожнымъ или оплошливымъ; недостаточно заботиться о своемъ дѣлѣ. Смотри не дремли» (СЦРЯ 1, 372).
«ДРЕМАТИ. 1. Дремать. И на хвалы бо лѣнивѣе стаяше дрѣмля. Патерик Син., 389. XI-XII вв. Дремлетъ в полѣ Ольгово хороброе гнѣздо, далече залетѣло. Сл. о п. Иг., 11. Онъ же, егда себе видяще дрѣмлюща, възьмъ палицю малу, бияшеся крѣпъцѣ. Ж. Нифонта, 256. 1219 г. 2. Пребывать в бездействии, апатии. (1103): И б҃ъ великыи вложи ужасть велику в половцѣ, и страх нападе на ня и трепетъ лиц русскых вой, и дрѣмаху сами, и конем их не бѣ спѣха в ногах. Лавр, лет., 278. Бодрствуй, государь, а не дремли, понеже супостатъ дьяволъ хощетъ царство твое проглотить. Ав. Ж., 196. 1673 г. Не дремати — быть настороже, наготове. Погыбель ихъ не дремлетъ. (Посл. мт. Фотия) А I, 34. XVI в. 1419 г.» (СлРЯ XI-XVII вв. 4, 355).
«Буде ты Телеф, или ты Пелей, худо данные вам слова от автора выговариваете, то я или дремать стану, или буду смеяться» [В. К. Тредиаковский. Горация Флакка «Эпистола к Пизонам о стихотворении и поэзии» с латинских стихов прозою (1751-1752)].