Баю-ба/юшки-баю межд. От основы бай / баю. СО — суффиксальный, суфф. -ушки / -юшки с экспрессивно-ласкательным значением.
«БА́Ю, БА́ЮШКИ, БАЮ́. Слова, употребляемыя при укачиванiи младенца» (СЦРЯ 1, 26).
Спи, младенец мой прекрасный,
Баюшки-баю.
Тихо смотрит месяц ясный
В колыбель твою.
(Лермонтов. Казачья колыбельная песня).
«Несмотря на то что отец учил ее фрунтовому шагу, она шагала не в аршин; ножку ее нельзя было назвать ногой, потому что и на 14 году, укладывая ее в башмачок, как в колыбельку, можно было припевать: “Баю-баюшки-баю, баю крошечку мою!”» [А.Ф. Вельтман. Эротида (1835)]