Кут/а/фьj/а, -и с. ж. По данным этимологического словаря, вероятно, образовано от кутать (см.: Фасмер 2, 433). Наиболее вероятное происхождение, на наш взгляд, — контаминация основ кута/ть и женских имен типа Аг/афьj/а. Итак, СО — контаминация, в результате которой в производном слове соединяются компоненты значения двух производящих слов. Кутафья, вероятно, является результатом народного словотворчества. Примеры других слов, образованных в результате контаминации: хрущобы (Хрущёв + трущобы), магнитола (магнитофон + радиола). Наименование одной из башен Московского Кремля Кутафьей произошло, по основной версии, именно от слова кутать.
Морфемное членение: кут/а́фьj/а; так как решающим фактором успеха этой контаминации служит созвучие [а] — [а]: кута- + -афья.
«Кута́фья ж. неуклюже, безобразно одѣтая женщина» (Даль 2, 583).
Первое употребление в литературном языке — 1828 г.: «По мне жена как хочешь одевайся: хоть кутафьей, хоть болдыханом; только б не каждый месяц заказывала себе новые платья, а прежние бросала новёшенькие» [А.С. Пушкин. Арап Петра Великого (1828)]. Этот пример доказывает нарочитую языковую игру, а не наивные ошибки народной этимологии.